Définitions
\(\triangleright\) Définition espace vectoriel sur \(\Bbb R\)
Un espace vectoriel dans \(\Bbb R\) est l'ensemble \(E\) qui est muni de deux opérations:- \('+', \forall u,v\in E\) on a \(u+v\in E\)
- \(\forall u\in E; \forall \lambda \in\Bbb R\) on a \(\lambda.u\in E\)
- \(u+v=v+u\)
- \((u+v)+w=u+(w+v)\)
- Il existe un élément neutre \(O_E\) tel que \(\forall u\in E; u+0_E=u\)
- \(\forall u\in E; \exists \overline u\) tel que \(\overline u+u=0_E\)
- \(\lambda.(u+v)=\lambda.u+\lambda.v\)
- \((\lambda +\mu).u=\mu.u+\lambda.u\)
- \((\lambda.\mu).u=\lambda.(\mu.u)\)
- \(1.u=u\)
Exemples:
- \(\Bbb R^,\Bbb R^2,...,\Bbb R^n\)
- \(\Bbb R_d[x]=\) l'ensemble des polynomes de degrés \(\leq d\)
- \(F([a,b],\Bbb R)= \{f:[a,b]\longrightarrow\Bbb R\}\)
Propriétés
\(\triangleright\) Propriétés d'un espace vectoriel
- L'élement neutre \(0_E\) est unique.
Supposons que l'on ait \(0_E\),\(0'_E\)
Démonstration élement neutre unique - sous espaces vectoriels
- Un élement opposé est unique.
Démonstration élément opposé unique - sous espaces vectoriels
Dimension d'un espace vectoriel
Opérations sur les espaces
Sous-espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
Définition d'un sous-espace vectoriel
Propriétés d'un sous-espace vectoriel
Opérations sur les sous-espaces
Sous-espaces supplémentaires
Equations linéaires vectorielles
Equations linéaires vectorielles
Combinaison linéaire
Combinaison linéaire
Familles
Familles génératrices
Famille génératrice
Familles libre
Famille libre
Familles liées
Famille liée
Exemples
- Soit \(\{u\in E\}\) \(\{u\}\) est-il libre?
Si \(\{u\} \text{ est liée}\) alors, \(\exists\lambda\neq 0|\lambda.u=0_E\)
$$\lambda^{-1}.\lambda u=u=0_E$$
$$\lambda^{-1}.0_E=0_E$$
\(\implies\) \(\{u\}\) est liée si et seulement si \(u=0_E\), \(\{u\}\) est libre si et seulement si \(u\neq 0\)
- \(\{u_1,0_E....u_m\}\) est-elle libre?
$$0u_1+0.0_E+...=0_E$$
- \(u,v\in E\), \(\{u,v\}\) estelle libre ou liée?
Supposons que \(\{u,v\}\) ets liée.
\(\implies\) \(\exists(\lambda,\mu)\neq 0, \lambda u+\mu v=0_E\)
Si \(\lambda\neq 0\), \(u=-\frac{\mu}{\lambda}v\)
Si \(\mu \neq 0\), \(v=-\frac{\lambda}{\mu}u\)
Conclusion: \(\{u,v\}\) est libre si et seulement si \(u\not \parallel v\)
- \(\Bbb R^5=\{(a_1,....a_5)a_i\in \Bbb R\}\)
$$u_1=(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$$
$$u_2=(0,b_2,b_3,b_4,b_5)$$
$$u_3=(0,0,0,c_4,c_5)$$
\(a_1,b_2,c_4\neq 0\)
\(u_1,u_2,u_3\) est -elle libre?
\(\longrightarrow\) Supposons \(\lambda_1u_1+...+\lambda_3u_3=0_{\Bbb R ^5}\)
\(\implies\) \(\lambda_1a_1=0\) or \(a_1\neq 0\)
Donc \(\lambda_1=0\)
De plus,
$$\lambda_1a_2+\lambda_2b_2=0$$
$$\text{Or }\, \lambda_1=0$$
$$\text{Donc }\lambda_2=0$$
De même pour \(\lambda_3\)
Base géométrique
Base géométrique
Théorème de la base incomplète
\(\triangleright\) Applications linéaires - sous-espaces vectoriels
Notes Cours/Cours L1/L1 SESI PCI - S2/M21/vrac/Applications linéaires
Soient \(F_1\) et \(F_2\) deux espaces vectoriels sur \(\Bbb R\)
Un applicaion de \(f:E\longrightarrow F\) est linéaire, si:- \(\forall u,v\in E\qquad f(u+v)=f(u)+f(v)\)
- \(\forall\lambda\in \Bbb R\qquad f(\lambda u)=\lambda f(u)\)
Espaces vectoriels sur les complexes
\(\triangleright\) Espaces vectoriels sur \(\Bbb C\)
Sur les complexes, on note un vecteur \(\ket u\).
L'ensemble de ces vecteurs forment l'espace vectoriel complexe \(E\) tel que \(\forall \ket u,\ket v\):
$$\ket u+\ket v\in E$$
$$\lambda \ket u \in E\qquad \lambda \in \Bbb C$$
\(\triangleright\) Forme linéaire associé dans les complexes
A tout espace vectoriel complexe \(E\), on peut associer un Espace dual (physique) complexe \(E^*\) tel que la forme linéaire \(\omega \in E^*\) (Formes linéaires).
$$\omega_v(\ket u)={{\langle{v,u}\rangle }}$$
Remarque
\(\triangleright\) Notation du vecteur nul
Le vecteur nul ne s'écrit pas \(\ket 0\) mais simplement \(0\)
Espaces vectoriels en dimension infinie
Espaces vectoriels à dimension infinie
